|
Dagens Philosoph : Eratosthenes |
15:54:11 |
 Eratosthenes
Bestemmelsen af Jordens størrelse
Eratosthenes måleopstillingTegningen herover er vist med overdrevne vinkler. Ill.: Møllers-Grafisk Tegnestue/Hans Møller. 
Kort over Ægypten, med Aleksandria og Aswan = det daværende Syene. |
Eratosthenes fra Kyrene 276 f.Kr. - 194 f.Kr.
Indholdsfortegnelse :Om EratosthenesEratosthenes' si Fordobling af en ternings volume [moderne metode] Måling og beregning af Jordens omkreds Som algoritme for computerkode Eratosthenes død Nedenstående tekst består af ialt: 75 afsnit Om EratosthenesEratosthenes (født 276 f.Kr., død 194 f.Kr.) var en græsk astronom og matematiker, som bestemte Jordens omkreds ved måling af Solens højde i henholdsvis Alexandria og Syene (det nuværende Aswan) på samme tidspunkt. De 2 byer ligger på (næsten) samme længdegrad, men med en nord - syd afstand på 900 km. imellem sig. Derudfra kunne han beregne jordens krumning og dermed også omkredsen.Eratosthenes resultat, at Jorden er kugleformet, blev ikke kendt eller accepteret i det katolske Europa i Middelalderen. Han var leder af Biblioteket i Alexandria og han fandt en metode til at fastlægge primtallene, kaldet Eratosthenes' si. Eratosthenes' siEratosthenes' si er en talrække, der fås ved at markere nogle tal (her mærket med understregning). At ryste sien betyder at man mærker det mindste af de hidtil umærkede tal, og lader alle egentlige multipla af dette tal drysse ud af sien. Rækken startes ved at man fylder sien op med tallene større end 1; alle umærkede, dvs.2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, ... Sien rystes én gang, hvor det mindste tal mærkes, altså tallet 2; alle de lige tal drysser ud af sien. Tilbage bliver følgende tal i rækken: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, ... Der rystes igen. Herved mærkes det mindste af de umærkede, altså tallet 3. Alle de andre tal, der er delelige med 3 drysser ud af sien. Tilbage bliver følgende tal i rækken: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, ... Rystes der igen, forbliver følgende tal i rækken: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, ... Primtallene op til 101 er flg. 26 tal: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101 Hvis der rystes uendeligt mange gange resterer netop primtallene i sien. Ingen tal går op i et primtal (pånær 1 og sig-selv) og det er det "Eratosthenes' si" lukrerer på ved at luge al redundans bort. En anden måde at luge ud i talmængden af potentielle primtal (der er større end 7) er at betragte mønsteret af allerede fundne primtal og dér fokusere på det sidste ciffer. I blandt disse findes ingen lige primtal (større end 2) og der findes ingen primtal (større end 5) der ender på 5. Tilbage er kun cifrene: 1, 3, 7 og 9. Herved udelukkes de første 60% af samtlige mulige kandidater til primtal. Der er dog stadig mange IKKE-primtal i de sidste 40% af kandidaterne. Primtal under 1.000.000 udgør feks. kun ca. 7,85% af talmængden. Leg selv med primtal her: Link. Eratosthenes var en af oldtidens mest alsidige forskere inden for sprog, historisk kronologi, litteratur og især naturvidenskab. Han var leder af biblioteket i Alexandria. Eratosthenes beskrev en mekanisk løsning af problemet om terningens fordobling, kaldet det deliske problem, og en teoretisk metode til at finde primtal, kaldet Eratosthenes' si. Fordobling af en ternings volume [moderne metode]Nu om dage med regnemaskiner, feks. en alm. lommeregner eller mobiltlf. mv. er sagen en ganske anden ift fordobling af en terning.Formlen: V2=(S • Cbrt(2))3 Hvor V2=Den dobbelte ternings volume, S=sidelængden af den oprindelige terning, Cbrt(2)=kubikroden af 2 (= den tredie rod af 2). Giver den fordoblede ternings volume hvor den nye sidelængde er: S2=S1 • Cbrt(2) hvor S1 er siden på den oprindelige terning og S2 er siden på den dobbelte terning. Vil man 3 (eller flere) doble terningen så brug følgende, formel: VN=(S • Cbrt(N))3 Hvor VN=Den N-doblede ternings volume, S=sidelængden af den oprindelige terning, N=fordoblingsfaktoren, Cbrt(N)=kubikroden af N (= den tredie rod af N). Den N-doblede ternings nye sidelængde er: SN=S1 • Cbrt(N) hvor S1 er siden på den oprindelige terning og SN er siden på den N-doblede terning. Måling og beregning af Jordens omkredsEratosthenes viste ved observation og beregning, at Jordens omkreds er ca. 45.000 km (i dag målt til 40.092 km). Han observerede, at ved sommersolhverv kaster viseren i soluret i Syene (Aswan) ingen skygge, mens soluret i Alexandria kaster en skygge på a=1/50 af urets omkreds. Da solurene er ligedannede med jordkloden, er vinkelforskellen mellem de to byer en-halvtresinds-tyvende-del (1/50) af Jordens omkreds, som derfor bliver 50 gange afstanden på 900 km. mellem byerne, altså ialt ca. 45.000 km.Tegningen (til venstre) er vist med overdrevne vinkler. Han målte Solens zenitafstand ved sommersolhverv i Alexandria til præcis en-halvtresinds-tyvende-del (1/50) af meridianen og beregnede derved Jordens omkreds til 250.000 stadier; hans geografiske arbejder var grundlæggende for eftertidens forståelse af Jorden som en kugle, og hans stjernekort fastlagde stjernebilledernes navne og udseende. Han levede som samtidig med Aristarchos af Samos, der også fandt frem til, at Jorden ikke er flad men en globe. Eratosthenes var ven med Archimedes, som anerkendende dedikerede ham sit værk Metoden. Som algoritme for computerkodeFor matematisk computerprogrammering til beregning af primtal er Eratosthenes' si den hurtigste algoritme at bruge som basis for programmets kode, uanset programsprog. Det skyldes at algoritmen ikke anvender division. I computerens CPU koster addition, subtraktion og multiplikation af heltal kun to cykler at udføre, mens division kræver mindst 17 cykler, ofte endnu flere. Der findes derudover mange måder at optimere koden på, især hvis man søger efter verdensrekorden for største primtal. (Men al form for division må begrænses, inkl. modulus).Eratosthenes dødEratosthenes blev dræbt som følge af, at han dyrkede sex med en gift kvinde, Eufiletos hustru.Eufiletos skal forsvare drabet på Eratosthenes for Athens domstol. Eufiletos holder selv talen, der er skrevet til ham af den berømte taleskriver Lysias. Se talen her: Link ! Eratosthenes var tilsyneladende en slem horebuk der havde mange udenomsægteskabelige afærer med gifte kvinder. Således erfarede Eufiletos, Eratosthenes ugerning: En ældre kvinde, var i al hemmelighed blevet sendt af den kvinde, som Eratosthenes i forvejen stod i forhold til. Hun var blevet vred og følte sig forurettet, fordi han ikke længere kom så tit hos hende, og hun lod ham skygge, til hun fandt ud af, hvad grunden var. Den ældre kone gik og ventede på Eufiletos ved hans hus, og så kom hun hen til ham og sagde: "Det er ikke fordi jeg vil blande mig i dine sager, men den mand, som krænker dig og din hustru, er netop også vor personlige fjende". Eratosthenes kunne have været manden bag citatet: "Heaven has no rage like love to hatred turned, nor Hell a fury like a woman scorned", men han levede ikke længe nok til at få det nedskrevet. Æren for citatet gik i stedet til: William Congreve og stykket: 'The Mourning Bride' (1697). Tilbage til Eufiletos og Eratosthenes. Eufiletos lagde en fælde for Eratosthenes ved at komme "træt" hjem fra landet sammen med en ven med hvem han spiste et måltid hvorefter vennen tog hjem og Eufiletos gik til sengs i enrum. Snart dukkede Eratosthenes op hos konen og Eufiletos fik nys derom af tjenerinden. Eufiletos sneg sig uset ud af huset og skaffede hjælpere og vidner, hvorefter de alle trængte ind i huset til Eufiletos hustru og Eratosthenes, der blev antruffet nøgne. Eratosthenes tilstod sin udåd og bad for sit liv ved at tilbyde bod for sin ugerning, men han blev slået ned og til sidst dræbt på stedet for sine gerninger. Man må betænke at Eratosthenes levede til han var ca. 82 år gammel, så det er vel en smuk død, at blive dræbt med prædikatet "horkarl" på sig, ovenikøbet med flere kvinder sideløbende. |
|
