|
Dagens Science : Talsystemer |
23:22:10 |
 En kinesisk 2:5 abacus - med 2 "himmel-kugler" - og 5 "jord-kugler".
Gamle (og nye) talsystemer fra hele verden. |
Videnskab om: Talsystemer
Indholdsfortegnelse :Talsystemer, overordnetPositionstalsystemer Binære tal Babylonisk kileskrift Kinesernes tal Grækernes og romernes tal Tal-ord Vigesimale talsystem Tolvtalssystemet Abacus'en Positionstalsystemet, generelt Sekstentalsystemet ~ HEX-tal Millioner - Milliarder SI-præfikset Sprog-forbistring Kort-lang skala Meget STORE tal Betegnelser på binære størrelser Nedenstående tekst består af ialt: 45 afsnit Talsystemer, overordnetTalsystemer, systemer til repræsentation af alle naturlige tal (dvs. positive hele tal), evt. kun op til en vis størrelse, ud fra nogle få taltegn (cifre).Der er noget fint og forstandigt ved tal. - De ved, hvad de vil, og de gør, hvad de skal. ~ Piet Hein. PositionstalsystemerNu til dags bruges et positionstalsystem med grundtal ti, det såkaldte titalssystem, decimalsystemet eller det dekadiske talsystem: Det har ti cifre svarende til tallene fra 1 til 9 samt 0, men deres betydning i en talbetegnelse afhænger af positionen, fx står 340 for 3∙102 + 4∙101 + 0∙100, dvs. 3 hundreder, 4 tiere og 0 enere. Systemet opstod i Indien omkring 500; et nultegn er dog først påvist hen imod 700 i Cambodja. Systemet nåede Europa gennem araberne ca. 1120 ved oversættelse til latin af al-Khwarizmis bog fra ca. 820 om regning med "indernes tal", men først i 1500-t. fortrængte det romertal og regnebræt.Binære talEfter 2. Verdenskrig har positionstalsystemet med grundtal 2 (binære tal eller cifre, 0 og 1) fundet udbredt anvendelse ved de interne regninger i digitale computere.I it benyttes foruden det binære talsystem også det oktale og heksadecimale (baseret på grundtallene 8=23 og 16=24); sidstnævntes cifre for 10 til 15 betegnes A til F. Babylonisk kileskriftDet ældste kendte positionstalsystem optræder på babyloniske kileskriftstavler omkring 1800 f.Kr. Dette system, det seksagesimale, har grundtal 60. Da der ikke er noget nultegn, kan tegnet for 1 også betyde 60 eller 602 = 3600 osv.; det må ses af sammenhængen. Tegnet blev tillige brugt for 60-1 = 1/60 osv., således at systemet omfattede seksagesimalbrøker svarende til vore decimalbrøker. Det overlever stadig i inddelingen af timer (og vinkelgrader) i minutter og sekunder.Kinesernes talKineserne havde, måske fra omkring 200 f.Kr., et positionstalsystem med grundtal 100. Mayaerne brugte i kalendersammenhæng, måske fra omkring 400, et positionstalsystem med nultegn og trin på 20 og 18.Grækernes og romernes talGrækernes og romernes repræsentation af tal ved brikker i forskellige søjler på et regnebræt (se abacus) er reelt en omsætning til titalssystemet. Se også quipu.I de fleste tidlige talsystemer havde taltegnene faste værdier, som det kendes fra romertal. I additive systemer står en samling taltegn simpelthen for summen af værdierne. Det er fx tilfældet i egyptiske hieroglyfindskrifter tilbage til omkring 3000 f.Kr. såvel som for de oprindelige brahmicifre i Indien fra 200-t. f.Kr. og for alfabetiske systemer som grækernes i hellenistisk tid. Evt. suppleres med regler om subtraktion som i romertal, hvor VI nok står for 5+1 = 6, men IV for 5−1 = 4. Regler om multiplikation kendes også, hvor fx en vis kombination af tegn for 3 og 100 kan stå for 300. Tal-ordVort system af talord er additivt og multiplikativt med navnene på 1, ..., 9, 10, 11, 12, ..., 19, 20, 30, 40, ..., 90, 100, 1000, 106, 109, 1012, ... som byggesten. Bruddet i navngivningen efter 12 er spor af et tolvtalssystem; de følgende navne rummer spor af ti, fra 50 dog på dansk af tyve (halvtreds = halvtredsindstyve = 2½∙20). Ved udregninger omsætter vi til titalssystemet, når vi skriver cifre ned.Ordet: "Halvtredsindstyve", fortjener en forklaring. Vi deler lige ordet i 3 dele: "halvtredje", "sinds" og "tyve". Halvtredje kender vi fra klokken. Når klokken er "halv tre" er den 2:30, altså en ½ over to = 2½. Sinds, oprinder fra gl. tysk, sinde = regnearten: gange. (Hedder mal på ny-tysk) Og Tyve er bare 20. Halv-tredje gange tyve = Halvtredsindstyve = 50. Und so weiter med: 70 og 90 😀 En anden (knap så udbredt forklaring) : Det danske talsystem er et 20-talssystem – en snes = 20 50 = halvtredsindstyve – 3 snese minus ½ (en halv) snes (10) dvs. 3 x 20 = 60 minus 10 = 50 3 x 20 - men den 3. (tredje) snes skal være halv (½) Der er bare lige det at: "-sindstyve" bliver til "-snestyve", som er en pleonasme. Omregn selv "halvfjerde pund æbler" til gram. 3½ x 500 = 1750 g. Vigesimale talsystemDet vigesimale talsystem, der har grundtal 20, er der spor af i større eller mindre udstrækning på en del sprog, udover dansk også bl.a. i franske talord, hvor fx 87 hedder quatre-vingt-sept (= 4∙20+7).TolvtalssystemetTolvtalssystemet, duodecimalsystemet, har historisk interesse ifm. gamle danske enheder for mål og vægt; se dodekadik og metrologi. Også hvad angår mønt er dette system brugt, idet der gik 12 pence på en shilling i Storbritannien, før landet gik over til et decimalt møntsystem i 1971.Dodekadik er et tolvtalssystem eller et inddelingssystem med 12 som grundtal. Fx har det gamle danske målsystem med tommer, fod og alen grundtallet 12. Skrevet af: Lektor emeritus, Tage Gutmann Madsen Abacus'enAbacus betyder (på græsk-latin): Regnebræt, kugleramme eller regnetavle, brugt i regneundervisning og i Orienten som hjælpemiddel ved regning. Tidligere brugtes et bord med tællesten, senere en ramme med kugler, der kan forskydes på vandrette stænger.I Danmark blev den anvendt indtil ca. 1970. Den tidligste abacus regnes for at være en sumerisk fra omkring 2700–2300 f.Kr. beregnet til det seksagesimale talsystem. Positionstalsystemet, genereltDen grundlæggende formel np∙Gp i positionstalsystemet.Hvor "n" er tallet i den pågældende position. Og "G" er grundtallet i det pågældende talsysten. Og "p" er positionen i den pågældende talrække. Tallet lige foran decimalkommaet har nummer "0", tallet efter kommaet har nummer "-1" og tallet foran "0" har nummer "1" og det næste nummer, mod venstre, er "2" osv. "p" værdien er både indekstæller i tallet "n" og eksponenten for Grundtallet "G". "p" værdierne starter således lavest til højre og tælles op med 1 for hvert ryk til venstre, også ind over et evt. komma. Eksempel på Positionstalsystemet og rækken af "p"-værdier indsat i formlerne.
Talsystem: G=10; Titalssystemet. Valgt talrække: n = 86504,32
Hvis vi tilfældigt vælger cifrene: 7 3 0 4 ,5 i 10-talsystemet, får vi følgende regnestykke : 73∙103 + 32∙102 + 01∙101 + 40∙100 + 5-1∙10-1 = 7000 + 300 + 0 + 4 + 0,5 = 7304,5 => Idet "p" nummeret i forbindelse med "n" værdien kun bruges til at udpege det rette "n" ciffer i talrækken. Og "p" værdien i forbindelse med "G" er potensen af "G". Sekstentalsystemet ~ HEX-talNu vi er så godt i gang, så prøver vi lige sekstentalsystemet også kaldet det Hexadecimale talsystem.Grundtallet er 16, som også skrives 10h. Cifrene i faldende orden er: Hex ~ Titalsværdi 10h ~ 16 24 Fh ~ 15 Eh ~ 14 Dh ~ 13 Ch ~ 12 Bh ~ 11 Ah ~ 10 9h ~ 9 8h ~ 8 23 7h ~ 7 6h ~ 6 5h ~ 5 4h ~ 4 22 3h ~ 3 2h ~ 2 21 1h ~ 1 20 0h ~ 0 Når det er underforstået, at man arbejder med Hex-tal kan man, som oftest undlade det lille "h", der heller ikke bruges som ciffer i HEX-talrækken.. Talsystem: G=16 ~ G=10h; 16- eller hex- talssystemet. Valgt talrække: n = FA5C4h
Det gik jo nemt og enkelt nok ! Det hjælper selvfølgelig lidt med en lommeregner der kan regne direkte i HEX værdier 😀 Man kan skrive meget store tal med få Hex-cifre. 5 cifre giver et max på: FFFFFh = 1048575 i tital-systemet. Opgave til læseren : Lav selv dit eget talsystem med feks. 7 eller 23 som grundtal ! Husk : Grundtallet skal være der første to-cifrede tal i rækken. Intet er umuligt, men mange ting er upraktiske. Millioner - MilliarderSI-præfiksetEt SI-præfiks er et præfiks, som kan anvendes på enhver SI-enhed.For eksempel ganger præfikset "kilo" med ét tusind, så én kilometer er 1.000 meter og én kilowatt er 1.000 watt. Præfikset "milli" dividerer med ét tusind, så én millimeter er en tusindedel af en meter (der går 1.000 millimeter på en meter); og én milliliter er én tusindedel af en liter. Dét at det samme præfiks kan anvendes på enhver SI-enhed, er en af SI systemets styrker.
Sprog-forbistringI danmark er en Million et 1-tal med 6 nuller.I US dominerede lande er en Million et 1-tal med 6 nuller. Det er nemt at forstå ! Ingen problemer. I danmark er en Billion et 1-tal med 12 nuller og en Milliard, er et 1-tal med 9 nuller. I US dominerede lande er en Billion et 1-tal med 9 nuller og en "Milliard" er der ikke noget der hedder. Det er sværere at forstå ! Og hvem har ret i deres tal-filosofi ? Kort-lang skalaBegrebet Den korte og den lange skala for store tal er første gang anvendt af den franske matematiker Geneviève Guitel så sent som i 1975. Det bliver brugt til at beskrive de to måder, som store tal navngives på. I Kontinentaleuropa, herunder Skandinavien, anvendes mest den lange skala, og i engelsktalende lande bruges mest den korte.Se også: "Meget STORE tal" her nedenunder. En trillion er på dansk tallet for en milliard milliarder, dvs. 1018 = 1.000.000.000.000.000.000. Eller et 1-tal med 18 nuller. SI-præfikset E for exa angiver en trillion. I amerikansk terminologi er en trillion lig med en million millioner, som på dansk kaldes en billion. En million millioner er 1012 = 1.000.000.000.000. Tilsvarende vil en dansk trillion blive kaldt en kvintillion på amerikansk. Se også Den lange og den korte skala for store tal. En logisk huskeregel på det danske tal-system er, at - en BI-llion er en dobbelt-million, altså 2 x 6 nuller. En TRI-llion er en trippel-million, altså 3 x 6 nuller. En KVADRI-llion er på den måde en firdobbelt-million, altså 4 x 6 nuller og så fremdeles. Meget STORE talVi siger at M = 106 = 1.000.000 iflg. det internationale SI-præfiks.Vi siger også at k = 103 = 1.000 iflg. det internationale SI-præfiks. Dvs. at k(1+1) = M.
Betegnelser på binære størrelserEnhederne: - kilo, Mega, Giga, Tera, Peta, ...Hvad kommer der efter: kilo, mega, giga, tera, peta ? Kilo, mega, giga, tera, peta, exa, zetta, yotta, xona, weka, vunda, uda, treda, sorta, rinta, quexa, pepta, ocha, nena, minga, luma Kilo er (når vi taler om binære værdier): 210 = 1024 (bytes). De efterfølgende værdier (mega, giga, tera, peta mv.) er hver især en faktor 1024 større end den forrige.
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
