|
Dagens Science : Talsystemer |
14:40:37 |
 En kinesisk 2:5 abacus - med 2 "himmel-kugler" - og 5 "jord-kugler".
Gamle (og nye) talsystemer fra hele verden.
Uhrskive med kinesiske tal. |
Videnskab om: Talsystemer
Indholdsfortegnelse :Talsystemer, overordnetPositionstalsystemer Binære tal Totalssystemet (populært beskrevet) Babylonisk kileskrift Kinesernes tal Kinesiske tal Unicode characters Det Kinesiske talsystem Tabel: sammenligning af romer og kina tal Regneregler for dechifrering af Kinesiske tal til arabiske Eksempler Grækernes og romernes tal Tal-ord Vigesimale talsystem Tolvtalssystemet Abacus'en Positionstalsystemet, generelt Sekstentalsystemet ~ HEX-tal Millioner - Milliarder SI-præfikset Sprog-forbistring Kort-lang skala Meget STORE tal Betegnelser på binære størrelser
Talsystemer, overordnet 🔝Talsystemer, systemer til repræsentation af alle naturlige tal (dvs. positive hele tal), evt. kun op til en vis størrelse, ud fra nogle få taltegn (cifre).Der er noget fint og forstandigt ved tal. - De ved, hvad de vil, og de gør, hvad de skal. ~ Piet Hein. Positionstalsystemer 🔝Nu til dags bruges et positionstalsystem med grundtal ti, det såkaldte titalssystem, decimalsystemet eller det dekadiske talsystem: Det har ti cifre svarende til tallene fra 1 til 9 samt 0, men deres betydning i en talbetegnelse afhænger af positionen, fx står 340 for 3∙102 + 4∙101 + 0∙100, dvs. 3 hundreder, 4 tiere og 0 enere. Systemet opstod i Indien omkring 500; et nultegn er dog først påvist hen imod 700 i Cambodja. Systemet nåede Europa gennem araberne ca. 1120 ved oversættelse til latin af al-Khwarizmis bog fra ca. 820 om regning med "indernes tal", men først i 1500-t. fortrængte det romertal og regnebræt.Binære tal 🔝Efter 2. Verdenskrig har positionstalsystemet med grundtal 2 (binære tal eller cifre, 0 og 1) fundet udbredt anvendelse ved de interne regninger i digitale computere.I it benyttes foruden det binære talsystem også det oktale og heksadecimale (baseret på grundtallene 8=23 og 16=24); sidstnævntes cifre for 10 til 15 betegnes A til F. Totalssystemet (populært beskrevet) 🔝2-talssystem ! Ikke totalsystem 😀Det binære talsystem eller totalssystemet består kun af cifrene 0 og 1 (de såkaldte 'bits'). Det anvendes i computere til maskinkode og til hulkort. I hulkortsystemet repræsenteres 1 af et hul og 0 af intet hul. I elektronikkens digitale (logiske) kredsløb (og dermed også computere) kan de to værdier repræsenteres ved, at der løber en strøm igennem noget eller der ikke løber en strøm gennem (dvs. en spænding eller 0 volt). Det binære talsystem læses fra højre mod venstre, altså "baglæns" ligesom titalsystemet. Tallet på den første plads (bagfra) repræsenterer værdien [1], anden plads repræsenterer [2], tredje plads [4], fjerde plads [8] osv. Et 1-tal betyder, at tallet skal tælles med, et 0 at det ikke skal. Man omregner det binære tal til et decimaltal ('normalt' tal) ved at lægge værdien af de repræsenterede tal sammen. Dvs. at 2 skrives således: 0010 = 0 ottere + 0 firere + 1 toer + 0 enere = 2(dec), mens 7 skrives således: 0111 = 0 ottere + 1 firer + 1 toer + 1 ener = 7(dec). Overskueligheden i det binære talsystem fås, hvis man deler de enkelte cifre (bits) op i grupper af 4, igen fra højre (ligesom det almindelige 10-talssystems 3-grupper). Hver 4-gruppe (kaldes også en 'nibble') kan så andrage værdien 0-15 i titalssystemet eller 0-F i det hexadecimale talsystem. 2 stk. 4-grupper udgør således 8 bit eller 1 byte, som kan antage værdier fra 0-FF (hex) eller 0-255 decimalt. Se mere i kapitlet: Sekstentalsystemet ~ HEX-tal (længere nede) Babylonisk kileskrift 🔝Det ældste kendte positionstalsystem optræder på babyloniske kileskriftstavler omkring 1800 f.Kr. Dette system, det seksagesimale, har grundtal 60. Da der ikke er noget nultegn, kan tegnet for 1 også betyde 60 eller 602 = 3600 osv.; det må ses af sammenhængen. Tegnet blev tillige brugt for 60-1 = 1/60 osv., således at systemet omfattede seksagesimalbrøker svarende til vore decimalbrøker. Det overlever stadig på vore uhre mht. inddelingen af timer (og også vinkelgrader) i minutter og sekunder.Kinesernes tal 🔝Kineserne havde, måske fra omkring 200 f.Kr., et positionstalsystem med grundtal 100. Mayaerne brugte i kalendersammenhæng, måske fra omkring 400, et positionstalsystem med nultegn og trin på 20 og 18.Kinesiske tal 🔝Kinesisk uhr : I venstre spalte herover ses et Kinesisk uhr. Det specielle ved uret er at uhrskiven er udstyret med Kinesiske tal !Uhret ligner til forveksling et almindeligt uhr, bortset fra flaget og de underlige tal-tegn. Taltegnene er forklaret her under denne tekst. Uhrskiven er indrettet på samme måde som en almindelig uhrskive. Det vil sige, at den inderste talkrans viser timerne fra 一 [1] til 十二 [12] og den yderste talkrans viser minutter og sekunder fra 五 [5] til 六十 [60].
Men jeg vil dog ikke kaste mig ud i at skrive tallet PI på kinesisk, altså selve tallet, 3,1415926535897932384626433832795→ - og ikke bogstavet 𝜋 ! Herunder er indsat en formel til beregning af 𝜋 Hvis du føler trang til at forsøge dig med formlen, så bemærk lige at n går mod uendelig, så det kan godt tage lidt tid, selv for en god computer.
Efter 1000000000 (10^9) iterationer er kun de første 7 decimaler på plads. JavaScript arbejder kun med de viste 17 cifre, så man kan nok ikke forvente mere. Unicode characters 🔝Tegnet: 四 er et kinesisk 4-tal, som er kodet i et særligt internationalt tegnsæt, kaldet Unicode characters.Med Unicode characters har man adgang til alverdens skrifttegn, samt forskellige Emojies mv. Se den lille samling her. I html bruges både "𝜋" og "\u1D70B;" formatet. Kun det første kan bruges i PHP. (Begge koder giver iøvrigt et : "𝜋"). Det Kinesiske talsystem 🔝Kineserne bruger, i lighed med den vestlige verden, titalsystemet og de har gjort det siden 1300-tallet f.kr. hvor den vestlige verden (muligvis) fjollede rundt med Romertallene. Det kinesiske talsystem kan således føres tilbage til omkring år 1300 f.Kr., og deres egentlige matematik kommer til i de sidste århundreder f.Kr. Talsystemet var fra begyndelsen et titalssystem. Tabel: sammenligning af romer og kina tal 🔝
Selvom man i Kina i mange år også har anvendt det arabiske talsystem, som er kendt rundt om i verden, bruger man stadig det originale traditionelle kinesiske talsystem. Det kinesiske tal system er, som nævnt, også baseret på titalssystemet, men har nogle forskelle i den måde tallene er repræsenteret. Kinesisk har tegn for tallene 0 til 10, som det ses i ovenstående tabel, men de har også tegn for tallene: 100, 1000, 10.000, 100.000.000 og 100.000.000.000, tal for 100,000 og 1.000.000 konstrueres med kombinationer af feks. 10 x 10.000 og 100 x 10.000. Der findes et skrifttegn for nul, men en simpel cirkel bliver også brugt som nul. Kina brugte, som nævnt decimalsystemet fra omkring år 1300 f.Kr. Først omkring år 500 v.t. skabtes positionstalsystemet med arabertallene, som vi stadig kender det. Det startede i Indien og kom til central europa omkring år 1200 v.t. Kinesere skriver deres tal lidt efter samme opskrift, som når vi, her i norden, skal skrive en check. Feks. tallet 4025, som vi ville skrive (eller sige): Fire tusinde og toti fem, eller tallet 5104: Fem tusinde et hundrede og fire. Altså hvis der er et nul i talrækken, bliver det ikke nævnt på skrift, eller i tale ! Kinesere bruger samme fremgangsmåde i deres skrevne talsystem medmindre, at der er tale om (rent) nul - idet, der ellers ikke skrives nuller i et flercifret tal. Ettallet bruges heller ikke meget i flercifrede tal, man skriver IKKE Regneregler for dechifrering af Kinesiske tal til arabiske 🔝1. Hvis et større tal står foran et mindre, lægges de sammen.2. Hvis et mindre tal står foran et større, ganges de sammen. 3. Ved udregning begyndes der forfra i rækken af cifre, sålænge regel 1. opfyldes, lægges der sammen, men hvis regel 2. bliver opfyldt, ved at det nye tal (i rækken) er større end det foreløbige resultat, så skal det foreløbige resultat ganges med det nye tal, hvorefter der fortsættes indtil alle cifre er regnet sammen. Se eksemplet: 千二百万 = 12.000.000, længere nede på siden. Det modsatte, at konstruere kinesiske tal udfra arabiske er noget mere kompliceret, så det vil jeg ikkke beflitte mig med, men vil henvise til eksemplerne herunder 😀 Se også dette link: for flere tal-skrifttegn. Eksempler 🔝
Billion = 1.000.000.000 in US, = 1.000.000.000.000 i DK, 1012 = (106)2 Hvor Bi=2 Trillion = 1.000.000.000.000 in US, = 1.000.000.000.000.000.000 i DK, 1018 = (106)3 Hvor Tri=3. Lets be careful out there !!! Grækernes og romernes tal 🔝Grækernes og romernes repræsentation af tal ved brikker i forskellige søjler på et regnebræt (se abacus) er reelt en omsætning til titalssystemet. Se også quipu.I de fleste tidlige talsystemer havde taltegnene faste værdier, som det kendes fra romertal. I additive systemer står en samling taltegn simpelthen for summen af værdierne. Det er fx tilfældet i egyptiske hieroglyfindskrifter tilbage til omkring 3000 f.Kr. såvel som for de oprindelige brahmicifre i Indien fra 200-t. f.Kr. og for alfabetiske systemer som grækernes i hellenistisk tid. Evt. suppleres med regler om subtraktion som i romertal, hvor VI nok står for 5+1 = 6, men IV for 5−1 = 4. Regler om multiplikation kendes også, hvor fx en vis kombination af tegn for 3 og 100 kan stå for 300. Tal-ord 🔝Vort system af talord er additivt og multiplikativt med navnene på 1, ..., 9, 10, 11, 12, ..., 19, 20, 30, 40, ..., 90, 100, 1000, 106, 109, 1012, ... som byggesten. Bruddet i navngivningen efter 12 er spor af et tolvtalssystem; de følgende navne rummer spor af ti, fra 50 dog på dansk af tyve (halvtreds = halvtredsindstyve = 2½∙20). Ved udregninger omsætter vi til titalssystemet, når vi skriver cifre ned.Ordet: "Halvtredsindstyve", fortjener en forklaring. Vi deler lige ordet i 3 dele: "halvtredje", "sinds" og "tyve". Halvtredje kender vi fra klokken. Når klokken er "halv tre" er den 2:30, altså en ½ over to = 2½. Sinds, oprinder fra gl. tysk, sinde = regnearten: gange. (Hedder mal på ny-tysk) Og Tyve er bare 20. Halv-tredje gange tyve = Halvtredsindstyve = 50. Und so weiter med: 70 og 90 😀 En anden (knap så udbredt forklaring) :
Det er sværere med tyve og fyrre. Disse må være udledt af tiere, altså "tvende-sind-ti" = 20 og "fire-sind-ti" = 40. ? Vigesimale talsystem 🔝Det vigesimale talsystem, der har grundtal 20, er der spor af i større eller mindre udstrækning på en del sprog, udover dansk også bl.a. i franske talord, hvor fx 87 hedder quatre-vingt-sept (= 4∙20+7).Tolvtalssystemet 🔝Tolvtalssystemet, duodecimalsystemet, har historisk interesse ifm. gamle danske enheder for mål og vægt; se dodekadik og metrologi. Også hvad angår mønt er dette system brugt, idet der gik 12 pence på en shilling i Storbritannien, før landet gik over til et decimalt møntsystem i 1971.Dodekadik er et tolvtalssystem eller et inddelingssystem med 12 som grundtal. Fx har det gamle danske målsystem med tommer, fod og alen grundtallet 12. Skrevet af: Lektor emeritus, Tage Gutmann Madsen Og så må vi heller ikke glemme uhrene, især de analoge og uhrskiverens inddeling, med 2 gange tolv timer pr. døgn. Uhrene inkluderer desuden det seksagesimale, talsystem, med grundtallet 60, til minutter og sekunder. Abacus'en 🔝Abacus betyder (på græsk-latin): Regnebræt, kugleramme eller regnetavle, brugt i regneundervisning og i Orienten som hjælpemiddel ved regning. Tidligere brugtes et bord med tællesten, senere en ramme med kugler, der kan forskydes på vandrette stænger.I Danmark blev den anvendt indtil ca. 1970. Den tidligste abacus regnes for at være en sumerisk fra omkring 2700–2300 f.Kr. beregnet til det seksagesimale talsystem. https://humorfreak.dk/kugleramme-en-tidsloes-laeringsmetode/ Positionstalsystemet, generelt 🔝Den grundlæggende formel np∙Gp i positionstalsystemet.Hvor "n" er tallet i den pågældende position. Og "G" er grundtallet i det pågældende talsysten. Og "p" er positionen i den pågældende talrække. Tallet lige foran decimalkommaet har nummer "0", tallet til højre for kommaet har nummer "-1" og tallet foran "0"-positionen har nummer "1" og det næste nummer, mod venstre, er "2" osv. "p" værdien er både indekstæller i tallet "n" og eksponenten for Grundtallet "G". "p" værdierne starter således lavest til højre og tælles op med 1 for hvert ryk til venstre, også ind over et evt. komma, dog altid med position 0 umiddelbart til venstre for kommaet. Ifm. heltal er det, det mindst-betydende ciffer, der har nummer 0. Eksempel på Positionstalsystemet og rækken af "p"-værdier indsat i formlerne.
73∙103 + 32∙102 + 01∙101 + 40∙100 + 5-1∙10-1 = 7000 + 300 + 0 + 4 + 0,5 = 7304,5 => Idet "p" nummeret i forbindelse med "n" værdien kun bruges til at udpege det rette "n" ciffer i talrækken. Og "p" værdien i forbindelse med "G" er potensen af "G". Sekstentalsystemet ~ HEX-tal 🔝Nu vi er så godt i gang, så prøver vi lige sekstentalsystemet også kaldet det Hexadecimale talsystem.Grundtallet er 16, som også skrives 10h. Cifrene i faldende orden er: Hex ~ Titalsværdi 10h ~ 16 24 Fh ~ 15 Eh ~ 14 Dh ~ 13 Ch ~ 12 Bh ~ 11 Ah ~ 10 9h ~ 9 8h ~ 8 23 7h ~ 7 6h ~ 6 5h ~ 5 4h ~ 4 22 3h ~ 3 2h ~ 2 21 1h ~ 1 20 0h ~ 0 Når det er underforstået, at man arbejder med Hex-tal kan man, som oftest undlade det lille "h", der heller ikke bruges som ciffer i HEX-talrækken.. Talsystem: G=16 ~ G=10h; 16- eller hex- talssystemet. Valgt talrække: n = FA5C4h
Man kan skrive meget store tal med få Hex-cifre. 5 cifre giver et max på: FFFFFh = 1048575 i tital-systemet. Opgave til læseren : Lav selv dit eget talsystem med feks. 7 eller 23 som grundtal ! Husk : Grundtallet skal være der første to-cifrede tal i rækken. Intet er umuligt, men mange ting er upraktiske. Millioner - Milliarder 🔝SI-præfikset 🔝Et SI-præfiks er et præfiks, som kan anvendes på enhver SI-enhed.For eksempel ganger præfikset "kilo" med ét tusind, så én kilometer er 1.000 meter og én kilowatt er 1.000 watt. Præfikset "milli" dividerer med ét tusind, så én millimeter er en tusindedel af en meter (der går 1.000 millimeter på en meter); og én milliliter er én tusindedel af en liter. Dét at det samme præfiks kan anvendes på enhver SI-enhed, er en af SI systemets styrker.
Sprog-forbistring 🔝I danmark er en Million et 1-tal med 6 nuller.I US dominerede lande er en Million et 1-tal med 6 nuller. Det er nemt at forstå ! Ingen problemer. I danmark er en Billion et 1-tal med 12 nuller og en Milliard, er et 1-tal med 9 nuller. I US dominerede lande er en Billion et 1-tal med 9 nuller og en "Milliard" er der ikke noget der hedder. Det er sværere at forstå ! Og hvem har ret i deres tal-filosofi ? Kort-lang skala 🔝Begrebet Den korte og den lange skala for store tal er første gang anvendt af den franske matematiker Geneviève Guitel så sent som i 1975. Det bliver brugt til at beskrive de to måder, som store tal navngives på. I Kontinentaleuropa, herunder Skandinavien, anvendes mest den lange skala, og i engelsktalende lande bruges mest den korte.Se også: "Meget STORE tal" her nedenunder. En trillion er på dansk tallet for en milliard milliarder, dvs. 1018 = 1.000.000.000.000.000.000. Eller et 1-tal med 18 nuller. SI-præfikset E for exa angiver en trillion. I amerikansk terminologi er en trillion lig med en million millioner, som på dansk kaldes en billion. En million millioner er 1012 = 1.000.000.000.000. Tilsvarende vil en dansk trillion blive kaldt en kvintillion på amerikansk. Se også Den lange og den korte skala for store tal. En logisk huskeregel på det danske tal-system er, at - en BI-llion er en dobbelt-million, altså 2 x 6 nuller. En TRI-llion er en trippel-million, altså 3 x 6 nuller. En KVADRI-llion er på den måde en firdobbelt-million, altså 4 x 6 nuller og så fremdeles. Meget STORE tal 🔝Vi siger at M = 106 = 1.000.000 iflg. det internationale SI-præfiks.Vi siger også at k = 103 = 1.000 iflg. det internationale SI-præfiks. Dvs. at k(1+1) = M.
Betegnelser på binære størrelser 🔝Enhederne: - kilo, Mega, Giga, Tera, Peta, ...Hvad kommer der efter: kilo, mega, giga, tera, peta ? Kilo, mega, giga, tera, peta, exa, zetta, yotta, xona, weka, vunda, uda, treda, sorta, rinta, quexa, pepta, ocha, nena, minga, luma Kilo er (når vi taler om binære værdier): 210 = 1024 (bytes). De efterfølgende værdier (mega, giga, tera, peta mv.) er hver især en faktor 1024 større end den forrige.
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
